Векторне розшарування

Векторні розшарування такі, що шар F збігається з векторним простором, a G - з підгрупою лінійних перетворень.

Векторне розшарування Е називається рясним, якщо лінійне розшарування v (l) над Р (Е) рясно. У тому випадку, коли Е має конечномірні простором V перетинів, що породжують Е, це еквівалентно тому, що індукований морфізм з P (EV) в проектне простір P (FV) кінцевий. Будь-яке факторрасслоеніе рясного розшарування рясно; пряма сума рясних розшарувань рясна. Якщо Е - векторне розшарування, L - рясне лінійне розшарування і Е V породжується своїми перетинами, то Е рясно.

Векторне розшарування на алгебраїчних багатовидів) і виникають при розгляді лінійних і алгебраїч. Результати при цьому формулюються в термінах когомологий К. O, когерентного пучка JF на повному різноманітті X; б) Рімана - Роха теорему, яка обчислює характеристику Ейлера - Пуанкаре К.

 Векторні розшарування i (М) В і - з (М В) тоді канонічно В - ізоморфні.

Векторне розшарування над З з базою X (734) називається також комплексним векторних розшаруванням з базою X.

Векторним розшаруванням Е рангу г над схемою X називається схема Е, забезпечена морфізма IT: Е - X, що задовольняє наступній умові.

Розглянемо векторне розшарування Е - - X. Істотний інтерес представляє вивчення операції, що виходить з функтора полілінейние альтернірованние форми. Застосуємо цю операцію до дотичному розшарування і назвемо перетину отриманого нового розшарування диференціальними формами. Можна формально визначити деякі співвідношення між функціями, векторними полями і диференціальними формами, що лежать в основах диференціальної і ріманової геометрії. Ми наведемо основні пов'язані сюди поняття.

Ет векторне розшарування на X, яке ми позначимо, Kai і в гл.

Гільбертові векторні розшарування над - 33 граю.

 Теорія векторних розшарувань, будучи гомотопічній теорією, пристосована до застосування арифметичних понять, що вводяться в першому розділі. Предметом цієї глави служить тензорне множення теорії гомотопий на різні кільця. Особливо корисно множити на поле раціональних чисел Q і на кільце Zp цілих /з-адических чисел.

Для векторних розшарувань класи Чжен і Сегре взаємно визначають один одного; перевагу класів Чжен пов'язана з тим, що вони звертаються в нуль в размерностях, великих рангу розшарування. Однак для конусів - сингулярних векторних розшарувань - природний аналог існує лише для класів Сегре, але не Чжен. Класи Сегре нормальних конусів мають і іншими чудовими властивостями, відсутніми у класів Чжен (пор. Перетини векторного розшарування називаються лінійно незалежними, якщо вони лінійно незалежні над кожною точкою. В[Gr86 ]Громов довів наступний результат. Для векторних розшарувань над М визначені операції пря-мій суми і тензорного твори, які зводяться до прямого додавання і тензорного множенню перехідних функцій.

Для векторних розшарувань і т) над X і Y відповідно визначено розшарування Хт]над XX У. Ця обставина дозволяє конструювати всілякі спектри просторів Тома.

Сімейство алгебраїчних векторних розшарувань, що підлягають плоским розшарування рангу г, обмежена.

Структура векторного розшарування класу Cf (з базою В) на М є завдання класу еквівалентних векторних атласів (Теор.

Нехай дано векторне розшарування Е над схемою X і ціле число р, тоді можна визначити клас Чжен ср (Е) і АРХ.

Аналогічно розглянемо векторні розшарування над W XR. Не будемо вводити поки спеціальних позначень, оскільки кожен раз ясно, яке з розшарувань мається на увазі.

виття]векторні розшарування повністю визначаються характеристичними класами.

Гро тендікав будь векторне розшарування на Р є пряма сушйа ступенів розшарування Хопфа.

Визначення обильности векторного розшарування, яке використовується в 12.1 належить Хартсхорн ([Hartshorne 1 ]), Пор. Окремі випадки теореми позитивності з прикладу 1217 були доведені Клейманом, Блохом і Гізекером, Гріффітс, Усуи і Танго і іншими; см.[Griffiths 1, 3 ]і[Fulton - Lazarsfeld 3 ]з приводу літератури.

При вивченні векторних розшарувань ми нічого не втратимо, припускаючи базу X зв'язковою. Умова, що векторне розшарування має ранг / над X, еквівалентно тому, що воно має ранг г над кожною зв'язковий компонентою X. Іноді зручно допускати, щоб ранг векторного розшарування або локально вільного пучка змінювався від компоненти до компоненті; по суті це нічого не змінює.

Будь-яке факторрасслоеніе позитивного векторного розшарування позитивно.

Можливості підключення в векторному розшаруванні Банаха типу.

Таким чином, векторні розшарування утворюють категорію, яку позначимо через ВР або ВР /, якщо необхідно уточнити порядок дифференцируемости.

Нехай% - векторне розшарування над компактним рімановим n - мірним різноманіттям Н, забезпечене метрикою і связностью.

Нехай Е - векторне розшарування над X, a f: X - X - власний морфізм.

Зазвичай ми ототожнюємо векторне розшарування з локально вільним пучком його перетинів, якщо немає особливих причин розрізняти їх.

Hom Е - векторне розшарування над М розмірності N2 шаром якого є алгебра Нот Ех лінійних відображень шару Ех в себе.

В математичній фізиці векторні розшарування над сферою 54 (що розглядається як компактификацією 4 - х мірного простору-часу) з компактною групою Лі G в якості структурної групи, призводять до неабелева узагальнення рівнянь Максвелла - рівнянням Янга-Міллеа. Суттєвою рисою цього узагальнення є те, що неабелева тягне нелінійність відповідних диференціальних рівнянь.

Якщо Е - векторне розшарування над М, то пучок перетинів LAE розшарування АЕ визначає на М структуру С.

Нехай ти - векторне розшарування і Л - розшарування на ал - ебри з базою В. Множення на кожному шарі визначають спаровування з А Хв А в А, що задає (782) структуру градуйованою алгебри на fi (U), що є асоціативної і косокоммутатівной. Підалгебра Q (U) є алгебра перетинів розшарування А.

Якщо F - векторне розшарування з базою X і класу Ck (Про k г), то результат перетворення його функтором т позначається через F С.

Нехай YW - канонічне векторне розшарування над В0 (п) і М0 (п) - простір Тома розшарування уп.

Якщо Е - векторне розшарування рангу е над X, с, а (Е) і pk визначаються, як в (а), то (пор. Перетворимо тепер безліч векторних розшарувань в категорію. У наведеному визначенні векторного розшарування, очевидно, мається на увазі, що в кожному шарі заздалегідь введена структура банахових просторах.

Нехай база 5 дійсного векторного розшарування% (Е, р, в) є гладке компактне Л - мірне різноманітті з краєм дв (можливо порожнім), і нульове перетин i: в - Е наведено н загальне положення з самим собою.

У цьому пункті векторних розшаруванням називається векторне розшарування з базою В і морфізм векторних розшарувань є Ids-морфізма.

Тоді N є симплектична векторних розшаруванням.

Тоді на кожному асоційоване векторному розшаруванні виникає метрика.

L) - ермітовим векторне розшарування (соотв.

Md і N - векторні розшарування з базою В, причому М /мають кінцевий ранг.

Всі розглянуті різноманіття і векторні розшарування передбачаються локально Кінцевомірними.

Кожне гильбертово розшарування, що визначає векторне розшарування - до, називається редукцією розшарування - до до групи Гільберта.

Нехай тепер F - довільна векторне розшарування і т кожне.

Ці розшарування представимо як однорідні векторні розшарування над Р, індуковані уявленнями стаціонарних підгруп, на чому ми не будемо зупинятися тут, хоча це має в ряді випадків важливе значення.

Нехай є n - мірне векторне розшарування над X, ориентируемое в О.

Нехай g - морфізм векторного розшарування М в векторне розшарування М; якщо g біектівен, він є ізоморфізм різноманіття М на різноманіття М, зворотне відображення g 1 є морфізма векторного розшарування М в векторне розшарування М і маємо (g -) (, gu - для будь-якого b з В. Відображення g є тоді ізоморфізм векторних розшарувань.

Книга[65]містить теорію векторних розшарувань і її застосування до проблеми Рімана-Гільберта для рівнянь на некомпактних рнмаіових поверхнях. У книзі[57]разрешимость проблеми Рнмана-Гільберта додається до теорії поля. У книзі[82]теорія лінійних диференціальних рівнянь викладена на мові зв'язності в векторних розшарування; це дозволяє ставити і вирішувати проблему Рнмана-Гільберта для рівнянь з багатовимірним часом.



Інші публікації на тему:
  • Лінійне розшарування
  • Шар - розшарування
  • Лінійне векторне поле